"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta". Con esta frase, el matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), prologaba su libro "La geometría fractal de la naturaleza" [1] señalando la necesidad de una geometría que tuviera en cuenta en el estudio y modelado, aspectos reales de los fenómenos naturales.
Sábado 30 de mayo de 2015
Las formas de las nubes, costas, galaxias, etc, no se pueden aproximar por curvas, superficies o funciones suaves, continuas (en el sentido que no tienen interrupciones), o que no tienen quiebres abruptos o cierta rugosidad. Si miramos una hoja de papel con un microscopio vemos que su aspecto liso a simple vista se pierde asemejándose más a una alfombra irregular de pelos que a un recorte uniforme del plano.
Pero….¿Qué es un fractal? Se lo puede definir como una forma geométrica que se repite a sí misma en cualquier escala (o grado de amplificación de una lupa) a la que se la observe. Esa propiedad característica de los fractales de presentar un aspecto similar ante cualquier ampliación se denomina autosemejanza. El término fractal proviene del hecho de que su aspecto puede ser muy irregular y fragmentado. La Figura 1 muestra algunos ejemplos de fractales naturales y matemáticos. La autosemejanza en los primeros es de tipo estadístico, mientras que en los segundos, creados en una computadora, es exacta.
Figura 1: Fractales en la naturaleza y creados en una computadora.
Veamos un ejemplo típico: la curva de Koch. Se construye de la siguiente manera. Dibujemos primero un segmento de recta de longitud unidad, es decir, longitud 1, y dividámosla en tres partes. Luego, como se muestra en el dibujo en la segunda línea de la Figura 2, reemplacemos el tramo de su tercio medio por un triángulo equilátero. Ahora la longitud de la línea quebrada sumando cada tramo de 1/3 es 4/3.
Continuemos subdividiendo cada uno de estos tramos en tres partes y reemplacemos cada nuevo tercio medio de cada tramo por un triángulo equilátero correspondiente como se ve en el siguiente dibujo en la figura. Cada subtramo mide 1/9, sumando cada parte como antes, deducimos que la longitud de la línea quebrada es cuatro veces 1/9 multiplicado por 4, esto es (4/3)2. Si seguimos repitiendo los pasos, obtenemos que la longitud en el enésimo paso es (4/3)n, esto es, un número mayor que 1 (dado que 4/3=1,333…) elevado a la enésima potencia. Si el exponente n fuera 75, es decir después de dividir cada segmento y reemplazar los tramos intermedios por triángulos equiláteros 75 veces, la longitud de la línea quebrada será 2 millones de veces más larga que la unidad original ¡sin embargo las puntas están a la misma distancia que en el segmento inicial! Más aún, como n puede ser tan grande como se quiera, la longitud crece infinitamente.
Figura 2: Curva o Copo de nieve de Koch. Se resalta una parte de la curva para destacar autosemejanza en la que se repite la misma estructura o motivo de pasos anteriores.
En nuestra geometría corriente (euclideana) una línea o una curva es evidentemente un objeto unidimensional y decimos que tiene dimensión 1. De la misma forma podemos asociar una dimensión 2 a una superficie y una dimensión 3 a un volumen. Son las dimensiones 1D, 2D y 3D. La curva fractal de la Figura2 no parece ajustarse a la dimensión 1 del segmento de partida, más bien parece tener cierto espesor. Efectivamente, los fractales tienen una dimensionalidad propia que los caracteriza reflejando su complejidad. Existen formas de medir esa dimensionalidad fractal. En la curva de Koch es D = 1,26…, señalando que la figura geométrica fractal está entre una línea 1D y una superficie 2D. Es algo así como una curva plana irregular que “casi” llena un plano.
Otro fractal, quizá el más antiguo, es el que se construye a partir del conjunto de Cantor, denominado así en honor al matemático ruso George Cantor que lo inventó en 1883. Como antes, comencemos con un segmento de recta de longitud 1. Dividámoslo en tres y quitemos el tercio medio como se muestra en la Figura 3. Vemos que quedan dos segmentos con extremos en 0 y 1/3 para el primero y 2/3 y 1 el segundo.
Figura 3: Conjunto de Cantor
Repitamos el proceso de sacar el tercio intermedio en cada uno de los segmentos anteriores y obtendremos, como se ve en la figura, cuatro nuevos segmentos con extremos en 0 y 1/9, en 2/9 y 1/3, en 2/3 y 7/9, y el último en 8/9 y 1.
Si continuamos ad infinitum con éste procedimiento llegaremos eventualmente a que cada segmento está compuesto por un único punto. Precisamente, el conjunto de Cantor está conformado por esos infinitos puntos aislados, separados por espacios vacíos entre ellos. Puede probarse que la longitud de esos infinitos puntos aislados es cero. No obstante, la dimensión fractal no es cero, sino que es D = 0,63… Nuevamente obtenemos un número no entero, en éste caso una fracción entre 0 y 1, que denota que el Conjunto de Cantor es un fractal que está entre la dimensión euclideana cero de los puntos aislados del conjunto y la dimensión euclidea de valor 1 correspondiente a una línea.
George Cantor construyó su conjunto de números comprendidos entre 0 y 1, buscando que tuviera dos características contradictorias: que el conjunto tuviera medida cero pero que a la vez estuviera compuesto por un número infinito de elementos (tan infinito como el conjunto de los números reales en el intervalo entre 0 y 1). Independientemente de la intención de Cantor, su conjunto terminó muy lejos de ser una curiosidad matemática o geométrica y tiene una importante aplicación en el estudio de sistemas caóticos.
El expresionismo fractal de Jackson Pollock
El físico Richard Taylor ha encontrado una curiosa conexión entre el arte expresionista abstracto del pintor J. Pollock (1912-1956) y la geometría fractal. Cuenta en un artículo publicado en Investigación y Ciencia [2] que estando en un “punto muerto” de su carrera, abandonó el departamento de física, retomó su interés por la pintura y fue a la Escuela de Arte de Manchester reputada por el método “o nadas, o te hundes”.
Tanto a él como a sus compañeros fueron enviados a un páramo de Yorkshire para pintar lo que el lugar les sugiriese. Cuando el mal tiempo con vendavales de viento y nieve frustró esos planes se les ocurrió que la naturaleza pintara por ellos. Armaron una estructura de la que pendían recipientes con pintura que dejaba caer hilos de pintura sobre un lienzo, trazando trayectorias que los vientos producían al zarandear todo el conjunto. Cuando al día siguiente, pasó la tormenta y observaron la pintura, la impresión le recordó a Taylor los trabajos de Pollock y un célebre comentario de éste: “los ritmos de la naturaleza son los que me importan”.
Pollock realizaba sus obras con una técnica novedosa (a la vez que polémica) basada en el Action-painting. No usaba atril, las más de las veces colocaba el lienzo directamente sobre el suelo, permitiéndole moverse alrededor de la tela pintando y observar la obra desde distintos ángulos. Así, sus movimientos no estaban limitados por la mano y por el brazo sino que podía pintar usando todo el cuerpo. Su técnica para aplicar la pintura sobre el lienzo también era diferente. No usaba pinceles o espátulas. Empleaba los botes de pintura con un agujero en la base o simplemente palos de los que la pintura se vertía (dripping) o salpicaba directamente sobre el lienzo, que dirigía con movimientos bruscos y cambiantes. La técnica, engañosamente simple, polarizaba las opiniones en el mundillo de los pintores.
Taylor, luego de la experiencia de Yorkshire, decidió regresar al laboratorio y someter a prueba la obra de Pollock en la búsqueda de evidencias de tales ritmos. Junto a los colaboradores Adam Micolich y David Jonas, digitalizaron varias de sus obras y con una técnica conocida como box-counting estudiaron sucesivamente las propiedades estadísticas de cada una de ellas. Para su sorpresa los análisis mostraron que para todas las obras y todos los tamaños examinados las configuraciones geométricas eran fractales. ¿Habrá alguna preferencia visual para configuraciones fractales? Taylor llevó adelante pruebas con la colaboración de psicólogos que estudiaban la percepción visual. Hicieron pruebas con fractales naturales, creados por computadora y humanos a partir de recortes de pinturas de Pollock. Los resultados sobre un conjunto de personas participantes de las pruebas mostraron una preferencia por imágenes fractales con valores de dimensión fractal entre 1,3 y 1,5, independientemente de cuál fuera el origen del tipo fractal.
Es notable, aunque no del todo inesperado, que ese intervalo esté en correspondencia con configuraciones fractales naturales como la de las nubes o árboles. No es descabellado pensar que este atributo humano tenga una explicación evolutiva.
Figura 4: Obra Blue Poles, Número 11, de Jackson Pollock.
El análisis de las obras de Pollock estableció que la dimensión fractal de sus obras aumentaba sistemáticamente a lo largo de su carrera desde aproximadamente 1 en 1943 a 1,73 en 1953. Lo cual se ha interpretado como un refinamiento de sus técnicas y una exploración sistemática de nuevas posibilidades expresivas, que condujeron a un aumento de la complejidad de su obra y del proceso creativo. La realización de los mismos análisis con otras pinturas realizadas con las técnicas de goteo por otros artistas arrojó que no eran fractales.
Así, eventualmente, las técnicas usadas en las determinaciones de propiedades fractales podrían contribuir a evaluar la autenticidad de autoría de obras atribuidas a Pollock. Su trabajo Blue Poles: Número 11, 1952, (véase la Figura 4) considerada una de sus obras maestras tiene una dimensión fractal mayor que la media. Se especula con que podría ser recurso para solicitar la atención del observador en forma más activa respecto de los más relajantes fractales de dimensiones más bajas.
Más allá del atractivo estético de los fractales, la realización más glamorosa de esta geometría se encuentra en el austero universo de la matemática que devela un orden escondido en sistemas caóticos. Pollock quizá haya tenido una intuición de ellos y lo haya dejado expresado en sus trazos inspirados por los ritmos de la naturaleza que, inopinadamente, acompasaron durante el siglo XX los ritmos creativos de la nueva geometría fractal de Mandelbrot y la de los descubrimientos de los pioneros de la pujante teoría del caos.
Bibliografía recomendada
[1] Benoît Mandelbrot “La geometría fractal de la naturaleza”, Tusquets editores, 1997.
[2] Taylor, B. Richard “Orden en el caos de Pollock ”, Investigación y Ciencia, febrero, 2003.
